Корень квадратный из 136

Из этой статьи вы узнаете:

  • что такое «извлечение корня»;
  • в каких случаях он извлекается;
  • принципы нахождения значения корня;
  • основные способы извлечения корня из натуральных и дробных чисел.

Что такое «извлечение корня»

Для начала введем определение «извлечение корня».

Определение 1

Извлечение корня — процесс нахождения значения корня.

При извлечении корня n-ной степени из числа a, мы находим число b, n-ная степень которого равняется a. Если мы нашли такое число b, можно утверждать, что корень извлечен.

Замечание 1

Выражения «извлечение корня» и «нахождение значения корня» равнозначны.

В каких случаях извлекается корень?

Определение 2

Корень n-ной степени можно извлечь из числа a точно в случае, если a можно представить в виде n-ной степени некоторого числа b.

Пример 1

4=2×2, следовательно, из числа 4 можно точно извлечь квадратный корень, который равен 2

Определение 3

Когда корень n-ной степени из числа a невозможно представить в виде n-ной степени числа b, то такой корень не извлекается либо извлекается только приближенное значение корня с точностью до любого десятичного разряда.

Пример 2

2≈1,4142.

Принципы нахождения значения корня и способы их извлечения

  • Использование таблицы квадратов, таблицы кубов и т.д.
  • Разложение подкоренного выражения (числа) на простые множители
  • Извлечение корней из дробных чисел
  • Извлечение корня из отрицательного числа
  • Поразрядное нахождение значения корня

Необходимо понять, по каким принципам находится значение корней, и каким образом они извлекаются.

Определение 4

Главный принцип нахождения значения корней — основываться на свойствах корней, в том числе на равенстве: bnn=b, которое является справедливым для любого неотрицательного числа b.

Начать следует с наиболее простого и очевидного способа: таблицы квадратов, кубов и т.д.

Когда таблицы под руками нет, вам поможет способ разложения подкоренного числа на простые множители (способ незатейливый).

Стоит уделить внимание извлечению корня из отрицательного числа, что является возможным для корней с нечетными показателями.

Изучим, как извлекать корни из дробных чисел, в том числе из смешанных чисел, обыкновенных и десятичных дробей.

И потихоньку рассмотрим способ поразрядного нахождения значения корня — наиболее сложного и многоступенчатого.

Использование таблицы квадратов, кубов и т.д.

Таблица квадратов включает в себя все числа от 0 до 99 и состоит из 2 зон: в первой зоне можно составить любое число до 99 с помощью вертикального столбца с десятками и горизонтальной строки с единицами, во второй зоне содержатся все квадраты образуемых чисел.

Таблица квадратов

Таблица квадратов единицы
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
десятки 0 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81
1 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361
2 400 441 484 529 576 625 676 729 784 841
3 900 961 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 1521
4 1600 1681 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304 2041
5 2500 2601 2704 2809 2916 3025 3136 3249 3364 3481
6 3600 3721 3844 3969 4096 4225 4356 4489 4624 4761
7 4900 5041 5184 5329 5476 5625 5776 5929 6084 6241
8 6400 6561 6724 6889 7056 7225 7396 7569 7744 7921
9 8100 8281 8464 8649 8836 9025 9216 9409 9604 9801

Существуют также таблицы кубов, четвертой степени и т.д., которые созданы по принципу, аналогичному таблице квадратов.

Таблица кубов

Таблица кубов единицы
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
десятки 0 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729
1 1000 1 331 1 728 2 197 2 744 3 375 4 096 4 913 5 832 6 859
2 8000 9 261 10 648 12 167 13 824 15 625 17 576 19 683 21 952 24 389
3 27000 29 791 32 768 35 937 39 304 42 875 46 656 50 653 54 872 59 319
4 64000 68 921 74 088 79 507 85 184 91 125 97 336 103 823 110 592 117 649
5 125000 132 651 140 608 148 877 157 464 166 375 175 616 185 193 195 112 205 379
6 216000 226 981 238 328 250 047 262 144 274 625 287 496 300 763 314 432 328 509
7 343000 357 911 373 248 389 017 405 224 421 875 438 976 456 533 474 552 493 039
8 512000 531 441 551 368 571 787 592 704 614 125 636 056 658 503 681 472 704 969
729000 753 571 778 688 804 357 830 584 857 375 884 736 912 673 941 192 970 299

Принцип функционирования таких таблиц прост, однако их часто нет под рукой, что значительно усложняет процесс извлечение корня, поэтому необходимо владеть минимум несколькими способами извлечения корней.

Разложение подкоренного числа на простые множители

Наиболее удобный способ нахождения значения корня после таблицы квадратов и кубов.

Определение 5

Способ разложения подкоренного числа на простые множители подразумевает под собой представление числа в виде степени с необходимым показателем, что дает нам возможность получить значение корня.

Слишком сложно? Не парься, мы поможем разобраться и подарим скидку 10% на любую работу Опиши задание Пример 3

Извлечем квадратный корень из 144.

Разложим 144 на простые множители:

Таким образом: 144=2×2×2×2×3×3=(2×2)2×32=(2×2×3)2=122. Следовательно, 144=122=12.

Также при использовании свойств степени и корней можно записать преобразование немного по-другому:

144=2×2×2×2×3×3=24×32=24×32=22×3=12

144=12 — окончательный ответ.

Извлечение корней из дробных чисел

Запоминаем: любое дробное число должно быть записано в виде обыкновенной дроби.

Определение 6

Следуя свойству корня из частного, справедливым является следующее равенство:

pqn=pnqn. Исходя из этого равенства, необходимо воспользоваться правилом извлечения корня из дроби: корень из дроби равен от деления корня числителя на корень знаменателя.

Пример 4

Рассмотрим пример извлечения корня из десятичной дроби, поскольку извлечь корень из обыкновенной дроби можно с помощью таблицы.

Необходимо извлечь кубический корень из 474,552. Первым делом, представим десятичную дробь в виде обыкновенной: 474,552 = 474552/1000. Из этого следует: 47455210003=474552310003. Затем можно приступить к процессу извлечения кубических корней в числителе и знаменателе:

474552=2×2×2×3×3×3×13×13×13=(2×3×13)3=783 и 1000=103, то

4745523=7833=78 и 10003=1033=10.

Завершаем вычисления: 474552310003=7810=7,8.

Извлечение корня из отрицательных чисел

Если знаменатель является нечетным числом, то число под знаком корня может оказаться отрицательным. Из этого следует: для отрицательного числа -a и нечетного показателя корня 2n-1 справедливо равенство:

-a2×n-1=-a2×n-1

Определение 7

Правило извлечения нечетной степени из отрицательных чисел: чтобы извлечь корень из отрицательного числа необходимо извлечь корень из противоположного ему положительного числа и поставить перед ним знак минус.

Пример 5

-122092435. Для начала необходимо преобразовать выражение, чтобы под знаком корня оказалось положительно число:

-122092435=12209243-5​​​​​​

Затем следует заменить смешанное число обыкновенной дробью:

12209243-5=3125243-5

Пользуясь правилом извлечения корней из обыкновенной дроби, извлекаем:

3125243-5=-312552435

Вычисляем корни в числителе и знаменателе:

-312552435=-555355=-53=-123

Краткая запись решения:

-122092435=12209243-5=3125243-5=-312552435=-555355=-53=-123.

Ответ: -122092435=-123.

Метод 1. Деление подкоренных выражений

Алгоритм действий:

Записать дробь

Если выражение не представлено в виде дроби, необходимо его так записать, потому так легче следовать принципу деления квадратных корней.

Пример 1

144÷36, это выражение следует переписать так: 14436

Использовать один знак корня

В случае если и в числителе, и знаменателе присутствует квадратные корни, необходимо записать их подкоренные выражения под одним знаком корня, чтобы сделать процесс решения проще.

Напоминаем, что подкоренным выражением (или числом) является выражением под знаком корня.

Пример 2

14436. Это выражение следует записать так: 14436

Разделить подкоренные выражения

Просто разделите одно выражение на другое, а результат запишите под знаком корня.

Пример 3

14436=4, запишем это выражение так: 14436=4

Упростить подкоренное выражение (если необходимо)

Если подкоренное выражение или один из множителей представляют собой полный квадрат, упрощайте такое выражение.

Напомним, что полным квадратом является число, которое представляет собой квадрат некоторого целого числа.

Пример 4

4 — полный квадрат, потому что 2×2=4. Из этого следует:

4=2×2=2. Поэтому 14436=4=2.

Поразрядное нахождение значения корня

Бывают случаи, когда под корнем находится число, которое не получается представить в виде n-ной степени некоторого числа. Но необходимо знать значение корня с точностью до некоторого знака.

В таком случае необходимо воспользоваться алгоритмом поразрядного нахождения значения корня, с помощью которого можно получить достаточное количество значений искомого числа.

Пример 6

Как это происходит, разберем на примере извлечения квадратного корня из 5.

Сперва необходимо найти значение разряда единиц. Для этого начнем перебирать значения 0,1,2,…,9, вычисляя при этом 02, 12, …, 92 до необходимого значения, которое больше, чем подкоренное число 5. Все это удобно представить в виде таблицы:

Возможное значение корня 0 1 2 3
Это значение в степени 0 1 4 9
Возможное значение корня 2,0 2,1 2,2 2,3
Это значение в степени 4 4,41 4,84 5,29

Поскольку 2,22<5, а 2,32>5, то значение десятых равняется 2. Переходим к нахождению значения сотых:

Возможное значение корня 2.20 2,21 2,22 2,23 2,24
Это значение в степени 4,84 4,8841 4,8294 4,9729 5,0176

Таким образом, найдено значение корня из пяти — 2,23. Можно находить значения корня дальше:

В постоянном прикусе считается, что первые нижние моляры подвергаются максимальной нагрузке и выполняют самую важную жевательную функцию.

Большинство первых нижних моляров двухкорневые с двумя мезиальными и одним дистальным корневыми каналами (Barker и др., 1974; Vertucci, 1984). Но количество корней, как и количество корневых каналов, может варьировать. Carabelli был первым, кто описал наличие дополнительного третьего корня, как часто встречающегося варианта строения этой группы зубов. Дополнительный корень может иметь либо язычное расположение (radix entomolaris), либо щечное (radix paramolaris). В процессе эндодонтического лечения трехкорневые первые нижние моляры заслуживают особого внимания, поскольку дополнительный корень обычно меньше дистального и
мезиального, может быть обособленным или частично сросшимся с другими
корнями и в большинстве случаев имеет выраженную кривизну (Gu и др., 2010). В этой статье с целью облегчения работы стоматолога в таких сложных случаях будет рассмотрен дополнительный язычный корень первых нижних моляров: его распространенность, идентификация и классификация.

Распространенность дополнительного язычного корня первых нижних моляров по данным литературных источников различная. Wang и др. в 2011 году сообщили, что он был обнаружен у 95 пациентов из 350 (27,14%), причем из них у 95 из 158 пациентов (60,13%) был найден четвертый корневой канала в этом дополнительном корне. Размеры дополнительного язычного корня варьируют от короткого конического выступа до сформированного корня обычной длины с наличием корневого канала, изогнутого в щечном направлении.
Другие исследователи, Ahmed и др. (2007) и Schäfer и др. (2009), выявили наличие дополнительного язычного корня первых нижних моляров у 0,68% кавказцев, 3% африканского населения и 40% монголоидных популяций. Эти данные также подтвердили Chen и др. (2009), Song и др. (2010) и Gu и др. (2010), которые сообщали о высокой распространенности дополнительного корня среди жителей азиатских стран – от 5,8% до более 30%.

Для выявления дополнительного язычного корня в первых нижних молярах
необходимо проведение рентгенографии. Для подтверждения наличия дополнительного корня нужен периапикальный предоперативный снимок. Но иногда периапикальной рентгенограммы, сделанной под одним углом, недостаточно для идентификации, тогда стоит провести рентгенографию под различными углами с использованием техники SLOB (техника смещения рентгеновской трубки).
Интраорально дистально-язычное устье четвертого канала в дополнительном язычном корне чаще всего располагается асимметрично и немного отклоняется от центра к линии, проведенной в мезиально-дистальном направлении через пульпарную камеру.

Изображение 1 – Техника SLOB для получения рентгенограмм под различным углом с целью идентификации дополнительного корня.

Изображение 2 – Периапикальная рентгенограмма первого нижнего моляра, на которой виден дополнительный язычный корень. Идентифицирован трехкорневой нижний моляр

Изображение 3 – Дистально-лингвальное устье корневого канала в дополнительном язычном корне располагается несколько асимметрично и немного отклоняется от центра к линии, проведенной в мезиально-дистальном направлении через пульпарную камеру.

Существует две основные классификации дополнительных язычных корней. Одна из них – классификация по Ribeiro и Consolaro (1997), берущая за основу кривизну корня. Согласно этой классификации, встречается 3 типа дополнительных язычных корней:

Тип 1 – Прямой корень и корневой канал.

Тип 2 – Корень имеет начальную кривизну при входе в корневой канал, а дальше прямой и корень и канал.

Тип 3 – Имеется начальная кривизна в коронковой трети канала и второе искривление в щечном направлении, начинающееся от средней трети. В апикальной части корня может наблюдаться искривление в щечном направлении под углом 90 градусов.

Изображение 4 – Классификация дополнительных язычных корней по кривизне, согласно Ribeiro и Consolaro (1997).

Вторая классификация, разработанная Wang и др. (2011), на основе рентгенографического перекрытия дистально-язычного и дистально-щечного корней. Выделяются 3 варианта:

Тип 1 – Незначительное перекрытие изображения.

Тип 2 – Умеренное перекрытие изображения. Тип 3 – Выраженное перекрытие изображения.

Тип 3 – Выраженное перекрытие изображения.

Изображение 5 – Классификация на основе рентгенографического перекрытия дистально-язычного и дистально-щечного корней (Wang и др., 2011).

Клинические случаи

Изображение 6 – Тип 1 по рентгенологическому перекрытию и тип 1 по кривизне.

Изображение 7 – Тип 2 по рентгенологическому перекрытию и тип 2 по кривизне.

Изображение 8 – Тип 3 по рентгенологическому перекрытию и тип 3 по кривизне.

Изображение 9 – Тип 3 по рентгенологическому перекрытию и тип 3 по кривизне.

Дополнительный язычный корень первых нижних моляров является важным и
сложным анатомическим образованием. Чаще всего он имеет выраженную кривизну преимущественно в дистально-язычном направлении. Поэтому мы, как операторы, должны знать о его возможном присутствии. Предоперативная рентгенограмма играет важную роль в идентификации дополнительного корня, и мы должны обращать внимание на все анатомические характеристики.

Math Monsters — Bingo

Цена: бесплатно

Еще одно приложение с монстрами, которое помогает вспомнить все основные математические действия: сложение, вычитание, умножение и деление. Вы просто выбираете себе уровень сложности и то самое действие, которое хотите потренировать. Вверху на экране высвечиваются арифметические примеры, а внизу, как в лото, множество цифр, из которых нужно выбрать правильные. Если соберете пять верных ответов в одном ряду, будет бинго — куча дополнительных очков. А если пять раз за раунд ответите неправильно, придется начинать все с начала.

Mathbeat

Цена: бесплатно

Если монстры и всякие другие причудливые существа скорее мешают сосредоточиться, чем помогают, для тренировки можно использовать это приложение. Оно выглядит как самый обычный калькулятор — только делать подсчеты здесь придется не ему, а вам. Примеры можно решать просто так, а можно и на скорость: тогда легче будет следить за успехами и соревноваться в дальнейшем с самим собой.

Name that Number

Цена: 66 рублей

Если сложение, вычитание, умножение и деление вы уже вспомнили, можно попытаться восстановить в голове еще и правильный порядок их выполнения. Ведь если разные действия оказались в одном примере, то простое правило вычисления слева направо применять нельзя. Приложение Name that Number предлагает вам составить цепочку из пяти разных операций, конечным результатом которых станет указанное в кружочке число. Единственное отличие от школьной домашки — в том, что нельзя использовать скобки, и в том, что оторваться от составления таких уравнений невозможно.

Fractions

Цена: 66 рублей

Одна из школьных тем, которая чуть ли не самым быстрым образом выветривается из головы, — это дроби. Вы еще помните, как их нужно правильно сокращать, складывать, перемножать, переводить в целые и наоборот? Если нет, воспользуйтесь этим приложением с английскими тьюториалами по всем вышеперечисленным вопросам. После прослушивания объяснений можно наконец начинать выполнять тесты, а чуткое приложение всегда подскажет, если какой-то из знаменателей или знаков после запятой окажется неверным.

Chicken Coop Fractions

Цена: тестовая версия бесплатно, полная — 299 рублей

Вспомнить дроби можно еще и с помощью этой видеоигры с курочками Генриэттой и Гюдхен в роли математических экспертов. Здесь нужно решать примеры с дробями на время, указывая правильный ответ на числовой оси. Если все сделаете верно, курочка аккуратно кинет яйцо в корзинку, а если нет — сурово разобьет. При этом ответ может быть довольно приблизительным (да и ткнуть пальцем именно в десятичную дробь 0,67 на шкале от 0,1 до 1,0 было бы действительно трудно). Поэтому если расхождение ответов не совсем драматичное, его зачтут, и курочки останутся довольны.

Graphs

Цена: 66 рублей

Графики и диаграммы — еще одна тема, в которой тоже нетрудно запутаться. Чтобы можно было легко вспомнить, как анализировать их без ошибок, компания Tap to learn создала приложение Graphs. Скачав его, пользователи могут ознакомиться с учебными слайдами по разным видам диаграмм и графиков, а потом начать самостоятельно выполнять проверочные задания. Отдельного упоминания стоит последний, четвертый статистический раздел: когда разберетесь со столбчатыми и линейными графиками, отправляйтесь именно туда на поиски медианы.

Square Root

Цена: 33 рубля

Вычисление квадратного корня может оказаться еще одной увлекательной задачей из школьного курса математики. При использовании этого приложения вы сами моделируете уровень сложности и количество заданий, которое получите в каждом раунде. Выбирать значение квадратного корня здесь нужно из четырех предложенных вариантов. Если решение подобной задачки для двузначного числа не очень проблематично, то с √231361 поначалу даже придется перебирать ответы вручную.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *